Função par e Impar / Função Linear e afim

INTRODUÇÃO

Na introdução deste trabalho saberemos que uma função no geral é a relação do conjunto de chegada com o conjunto de partida, a forma que assumir essa relação poderá definir uma função como sendo par ou ímpar.

Função par - será uma função par a relação onde o elemento simétrico do conjunto do domínio tiver a mesma imagem no conjunto de chegada. Ou seja, uma função será par se f(x) = f(-x).

Por exemplo: a função A→B, com A = {-2,-1,0,1,2} e B = {1,2,5} definida pela fórmula f(x) = x²+ 1, obedece o seguinte diagrama:

Sou será uma função ímpar a relação onde os elementos simétricos do conjunto do domínio terão imagens simétricas no conjunto de chegada. Ou seja, uma função será ímpar se:

f(-x) = -f(x).

Por exemplo: a função A→B, com A = {-2,-1,0,1,2} e B = {-10,-5,0,5,10} definida pela fórmula f(x) = 5x, obedece o seguinte diagrama:

Veja que os elementos simétricos do conjunto A como -2 e 2 possuem imagens simétricas. Por isso, essa função é uma função ímpar.

Outra forma de verificar se uma função é ímpar é a seguinte: para que uma função seja ímpar é preciso que f(-x) = -f(x), então se for dada a seguinte função f(x) = 5x, basta testar se ela seria par.

Como f(x) = f(-x), então f(-x) = 5 . (-x) → f (-x) = -5x. Como a função f(x) ≠ f(-x) e f(-x) = -f(x), dizemos que essa função é uma função ímpar.

DESENVOLVIMENTO

Função par e Impar / Função Linear e afim

Em matemática, a paridade de funções é um conceito sobre a simetria de funções.

Definição

Seja $E\subseteq\mathbb{R}$ um conjunto com a seguinte propriedade de simetria em relação à origem:

$x\in E \Longrightarrow -x\in E$ .

§ Uma função $f:E\to\mathbb{R}$ é dita par se

§ Uma função $f:E\to\mathbb{R}$ é dita ímpar se

A nomenclatura provém do fato que a função

é impar se

é um número ímpare par se

é um número par.

Exemplos

é uma função ímpar.

é uma função par.

[editar]Decomposição em funções par e ímpar

Toda função $f:E\to\mathbb{R}$ definida em um conjunto

simétrico em relação à origem pode ser escito como a soma de uma função par e uma função ímpar:

$f(x)= f_i(x) + f_p(x) = \left(\frac{f(x)-f(-x)}{2}\right)+\left(\frac{f(x)+f(-x)}{2}\right)$

[editar]Exemplo

Seja

, temos:

$f(x)= \left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)+\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)=\sinh(x)+\cosh(x)$

Propriedades

§ A única função par e ímpar ao mesmo tempo é a função nula (

§ Há funções que não são nem pares nem ímpares.

§ Uma função ímpar definida na origem é nula na origem.

§ A soma de duas funções de mesma paridade mantem essa paridade.

§ O produto de duas funções de mesma paridade é uma função par.

§ O produto de duas funções com paridades distintas é uma função ímpar.

§ A derivada de uma função par é uma função ímpar.

§ A derivada de uma função ímpar é uma função par.

f(x) = x, uma função ímpar

Um número inteiro qualquer é dito par se, ao ser dividido pelo número dois, resulta em um número inteiro, caso contrário esse número é dito ímpar.

Propriedades dos números pares e ímpares

Sobre os conjuntos P e I e tendo como conjunto universo o conjunto dos números inteiros, determina-se as seguintes propriedades:

§ $P \subset \mathbb{Z}$

§ $I \subset \mathbb{Z}$

§ $P \cap I = \emptyset$

§ $P \cup I = \mathbb{Z}$

§ $P = \bar{I} = \mathbb{Z} - I$

§ $I = \bar{P} = \mathbb{Z} - P$

Seja p um número par qualquer e i um número ímpar qualquer, define-se as seguintes propriedades:

§ A soma ou subtração de dois números pares resulta em um número par:

$p \pm p' = 2n \pm 2n' = 2 ( n \pm n' ) = p''\,\!$

§ A soma ou subtração de dois números ímpares resulta em um número par:

$i \pm i' = 2n-1 \pm 2n'-1 = 2n \pm 2n' - 2 = 2 (n \pm n' -1) = p\,\!$

§ A soma ou subtração de um número par com um número ímpar resulta em um número ímpar:

$p \pm i = p \pm ( p' - 1 ) = (p \pm p') - 1 = i'\,\!$

§ A multiplicação de um número par por um número par resulta em um número par:

$p \times p' = (2n)(2n') = 2 (2nn') = p''\,\!$

§ A multiplicação de um número ímpar por um número ímpar resulta em um número ímpar:

$i \times i' = (2n-1)(2n'-1) = 2n2n' - 2n - 2n' + 1 = 2(2nn') - 2n - 2n' + 1 = p - p' - p'' + 1 = p''' + 1 = i''\,\!$

§ A multiplicação de um número par por um número ímpar resulta em um número par:

$p \times i = (2n)(2n'-1) = 2n2n' - 2n = 2(2nn'-n) = p'\,\!$

As propriedades de paridade são restritas à divisão devido ao fato do conjunto dos números inteiros não ser fechado para a operação de divisão. No entanto, se o quociente de uma divisão entre dois números pares é inteiro, então ele também é par se odividendo possuir mais fatores de dois que o divisor:

$p\,\div\,p' = 2^{a} n\,\div\,2^{a'} n' = 2^{a-a'} \left( n\,\div\,n' \right) = p''\mbox{ se, e somente se, }0 < a' < a\mbox{ e }p' \neq 0\,\!$

Métodos de inferência

Existem diversos métodos para determinar se um número dado é par ou ímpar. O mais fácil deles e, consequentemente, o mais utilizado é baseado na observação do último digito do número que esteja avaliando: caso o último dígito do número seja divisível por dois, isto é, se o resto da divisão do mesmo por dois for igual a zero então o número é par, caso contrário, é ímpar.

Exemplos:

$6 \Rightarrow 6 \div 2 = 3 ,\mbox{resto} = 0 \Rightarrow 6 \mbox{ é par}$

$282 \Rightarrow 2 \div 2 = 1 ,\mbox{resto} = 0 \Rightarrow 282 \mbox{ é par}$

$4.875.979.749 \Rightarrow 9 \div 2 = 4 ,\mbox{resto} = 1 \neq 0 \Rightarrow 4.875.979.749 \mbox{ é ímpar}$

Em outras palavras, neste método o último dígito é avaliado como um número isolado e considera-se que o número que originou o dígito mantém a mesma característica. Esse método é válido devido ao fato de utilizarmos por padrão o sistema de base 10 para representar os números. Como 10 é um número par, cada casa do número nesta base é formada por combinações de pares de números de mesma grandeza:

$\mbox{Base }10 \rightarrow (0,1),(2,3),(4,5),(6,7),(8,9)$

] Embora este método de avaliação seja válido nos sistemas numéricos mais comuns (como o Octal, base 8; e o Hexadecimal, base 16), este método não é válido em um sistema numérico com base ímpar. No sistema de base 7, por exemplo, 2₍₇₎ é par, mas 12₍₇₎ é ímpar. Isso acontece porque cada casa do número nesta base contém um número sem par da mesma grandeza, obrigando-o a fazer par com o número da casa seguinte:

$\mbox{Base }7 \rightarrow (0,1),(2,3),(4,5),(6{\color{Red},10})$

Paridade do número zero

Zero objetos divididos em dois grupos iguais

O zero é um número par.^[1] Esta afirmação é feita devido as seguintes razões:

§ ele é um número inteiro múltiplo de dois, isto é, ele pode ser escrito na forma

;

§ o zero é divisível por 2;

§ o zero é cercado por número ímpares;

§ o zero é o resultado da soma de algum número inteiro com o seu simétrico;

§ zero elementos podem ser divididos em dois grupos com um número igual de elementos;

§ o zero, interpretado como número par, é compatível com todas as regras das somas/subtrações e produtos de números pares e ímpares.

Ou seja, o zero compartilha todas as propriedades comuns a todos os números pares, portanto, conclui-se que ele é par. Popularmente, existe uma definição que determina o zero como sendo um número "nem par nem ímpar". Esta afirmação geralmente vem acompanhada pela justificativa que o zero seria um "número neutro" e que a propriedade não se aplicaria ao mesmo. Esta afirmação é falsa devido ao fato do conceito de elemento neutroestar associada a uma operação e não a um conjunto numérico. De fato, o zero é o elemento neutro das operações de adição e subtração, mas não é, por exemplo, das operações de multiplicação e divisão.

f(x) = x², uma função par

Um número inteiro qualquer é dito par se, ao ser dividido pelo número dois, resulta em um número inteiro, caso contrário esse número é dito ímpar.

Propriedades dos números pares e ímpares

Sobre os conjuntos P e I e tendo como conjunto universo o conjunto dos números inteiros, determina-se as seguintes propriedades:

§ $P \subset \mathbb{Z}$

§ $I \subset \mathbb{Z}$

§ $P \cap I = \emptyset$

§ $P \cup I = \mathbb{Z}$

§ $P = \bar{I} = \mathbb{Z} - I$

§ $I = \bar{P} = \mathbb{Z} - P$

Seja p um número par qualquer e i um número ímpar qualquer, define-se as seguintes propriedades:

§ A soma ou subtração de dois números pares resulta em um número par:

$p \pm p' = 2n \pm 2n' = 2 ( n \pm n' ) = p''\,\!$

§ A soma ou subtração de dois números ímpares resulta em um número par:

$i \pm i' = 2n-1 \pm 2n'-1 = 2n \pm 2n' - 2 = 2 (n \pm n' -1) = p\,\!$

§ A soma ou subtração de um número par com um número ímpar resulta em um número ímpar:

$p \pm i = p \pm ( p' - 1 ) = (p \pm p') - 1 = i'\,\!$

§ A multiplicação de um número par por um número par resulta em um número par:

$p \times p' = (2n)(2n') = 2 (2nn') = p''\,\!$

§ A multiplicação de um número ímpar por um número ímpar resulta em um número ímpar:

$i \times i' = (2n-1)(2n'-1) = 2n2n' - 2n - 2n' + 1 = 2(2nn') - 2n - 2n' + 1 = p - p' - p'' + 1 = p''' + 1 = i''\,\!$

§ A multiplicação de um número par por um número ímpar resulta em um número par:

$p \times i = (2n)(2n'-1) = 2n2n' - 2n = 2(2nn'-n) = p'\,\!$

$p\,\div\,p' = 2^{a} n\,\div\,2^{a'} n' = 2^{a-a'} \left( n\,\div\,n' \right) = p''\mbox{ se, e somente se, }0 < a' < a\mbox{ e }p' \neq 0\,\!$

Métodos de inferência

Exemplos:

$6 \Rightarrow 6 \div 2 = 3 ,\mbox{resto} = 0 \Rightarrow 6 \mbox{ é par}$

$282 \Rightarrow 2 \div 2 = 1 ,\mbox{resto} = 0 \Rightarrow 282 \mbox{ é par}$

$4.875.979.749 \Rightarrow 9 \div 2 = 4 ,\mbox{resto} = 1 \neq 0 \Rightarrow 4.875.979.749 \mbox{ é ímpar}$

$\mbox{Base }10 \rightarrow (0,1),(2,3),(4,5),(6,7),(8,9)$

Embora este método de avaliação seja válido nos sistemas numéricos mais comuns (como o Octal, base 8; e o Hexadecimal, base 16), este método não é válido em um sistema numérico com base ímpar. No sistema de base 7, por exemplo, 2₍₇₎ é par, mas 12₍₇₎ é ímpar. Isso acontece porque cada casa do número nesta base contém um número sem par da mesma grandeza, obrigando-o a fazer par com o número da casa seguinte:

$\mbox{Base }7 \rightarrow (0,1),(2,3),(4,5),(6{\color{Red},10})$

Função Linear

Função linear é a função matemática que possui as seguintes duas propriedades:

§ Aditividade:

;

§ Homogeneidade:

Em suma: =

As funções lineares são funções cujo gráfico é uma recta com ordenada na origem, isto é, em que b=0.

Definição

Chama-se função linear à função definida por: (Y=ax+b a<>0; b=0) onde A e B são números reais quaisquer, com a devida restrição em B, isto é, tem que ser igual a zero.

§ y é a variável dependente e x a variável independente;

§ A é o coeficiente angular

§ B é o coeficiente linear, é o valor numérico da ordenada cortada pela recta. Quando b<>0 a função é chamada de afim.

Nota: (1) <> significa diferente! (2) Geralmente os Economistas chamam a qualquer recta da forma y=mx+b uma função linear. No entanto, o conceito puro matemático, diz que uma função é linear se e só se <=> a ordenada na origem for zero. Quando b é diferente de zero, passa-se a chamar função afim.

Aplicação linear

A definição mais geral de função linear é feita no contexto da álgebra linear, e depende do conceito de espaço vetorial.

Sejam $(V, F, \oplus_V, \otimes_V, +, \times) \mbox{ e } (W, F, \oplus_W, \otimes_W, +, \times)\,$ espaços vetoriais. Uma função $f: V \rightarrow W\,$ é uma função linear se ela satisfaz os seguintes axiomas:

§ $\forall x, y \in V \ (f(x \oplus_V y) = f(x) \oplus_W f(y))\,$

§ $\forall a \in F \ \forall v \in V \ (f(a \otimes_V v) = a \otimes_W f(v))\,$

Note-se que, quando não existe possibilidade de confusão, escreve-se + e . para as somas de vetores e produto de escalar por vetor, e os axiomas ficam:

§ $\forall x, y \in V \ (f(x + y) = f(x) + f(y))\,$

§ $\forall a \in F \ \forall v \in V \ (f(a \ v) = a \ f(v))\,$

Uma função linear

Função afim

Uma função afim é a composição de uma função linear com uma translação.

Expressão algébrica

§ Uma função afim em $\R^n$ é dada pela expressão

, onde $A\,\;$ é uma matriz $n\times n$ .

§ Uma função afim em $\R$ é dada pela expressão

, onde

é um número real diferente de zero.

lembrando que b, é constante. f(x) = ax+b

Uma função afim é definida como uma função que apresenta o expoente 1 como maior expoente da variável independente. O seu gráfico é constituído por uma reta inclinada, podendo determiná-lo apenas com dois pontos. É expressa por:

$f(x)=ax + b\rightarrow$

em que "a" é denominado coeficiente angular e "b" é chamado de coeficiente linear.

[editar]Crescimento ou decrescimento da função afim

Uma função afim é crescente quando o valor do coeficiente angular for superior a 0 e decrescente quando for inferior.

§ a > 0 - função crescente - ângulo agudo

§ a < 0 - função decrescente - ângulo obtuso

CONCLUSÃO

Com base em tudo que aqui foi investigado conclui que; saber que uma função é par ou ímpar simplifica o estudo do seu comportamento pois, para essas classes de funções, conhecendo o que acontece para x>0 pode-se, utilizando os argumentos de simetria, inferir o que acontece em todo domínio da função.

Entretanto, existem funções cujos gráficos não possuem essas características. É o caso, por exemplo, de:

f(x)=ln x.

Examinando gráficos de funções observamos que, em certo sentido, alguns deles apresentam características especiais. Isso é um tanto vago, entretanto, conhecer algumas dessas características, muitas vezes, pode auxiliar no estudo e compreensão do gráfico de uma função mais complicada.

BIBLIOGRAFIA

Este trabalho é fruto ou base de extração da Internet.
Pagina Web

Google + Wikipédia Enciclopédia livre.
Diciopédia 2004, Porto Editora
http://facultyweb.cortland.edu/~ANDERSMD/ERIK/crit.HTML
(Erikson, Apud., Manuela Monteiro; Milice Ribeiro dos Santos, 2001: p.35
Calvin S. Hall; Gardner Lindzey; John B. Campbell, 2000: p.44)
Ficha Técnica
Elaborado por: The Question & Johny
Studio: C. of .B Music Recor E-mail: mmrealizacoes@hotmail.com

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2012.

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