Representação Técnica da forma: Projecção Ortogonal

INTRODUÇÃO

Projeção Ortogonal é a base das unidades curriculares: Desenho Técnico, Geometria Descritiva e Geometria Projetiva, dentre outras, que costumeiramente são oferecidas nos cursos técnicos e tecnológicos voltados para a indústria, em algumas engenharias, arquiterura, desenho industrial(designer), dentre outras.

Uma projecção é obtida intersectando rectas (ou planos), contendo cada ponto do objecto, perpendiculares (ortogonais) ao hiperplano de representação, com este. Estas rectas, chamadas projectantes ou raios visuais, funcionam como raios de sol para projectar os vértices do objecto sobre os planos de projecção.

Este tipo de projecção é bastante utilizado em cartografia e como técnica de análise em algumas disciplinas de geologia como a geologia estrutural.

Projeção ortogonal

     A projeção ortogonal de um ponto P sobre um plano  é a intersecção do plano com a reta perpendicular a ele, conduzida pelo ponto P:

      A projeção ortogonal de uma figura geométrica F ( qualquer conjunto de pontos) sobre um plano  é o conjunto das projeções ortogonais de todos os pontos de F sobre :

Distâncias

A distância entre um ponto e um plano é a medida  do segmento cujos extremos são o ponto e sua projeção ortogonal sobre o plano:
A distância entre uma reta e um plano paralelo é a distância entre um ponto qualquer da reta e o plano:
A distância entre dois planos paralelos é a distância entre um ponto qualquer de um deles e o outro plano:
A distância entre duas retas reversas, r e s, é a distância entre um ponto qualquer de uma delas e o plano que passa pela outra e é paralelo à primeira reta:

Ângulos

O ângulo entre duas retas reversas é o ângulo agudo que uma delas forma com uma reta paralela à outra:
O ângulo entre uma reta e um plano é o ângulo que a reta forma com sua projeção ortogonal sobre o plano:

Observações:

Diedros, triedos, poliedros

Diedros

      Dois semiplanos não-coplanares, com origem numa mesma reta, determinam uma figura geométrica chamada ângulo diédrico, ou simplesmente diedro:

Triedos

         Três semi-retas não-coplanares, com origem num mesmo ponto, determinam três ângulos que formam uma figura geométrica chamada ângulo triédrico, ou simplesmente triedro:

Ângulo poliédrico

      Sejam  n  semi-retas de mesma origem tais que nunca fiquem três num mesmo semiplano. Essas semi-retas determinam n ângulos em que o plano de cada um deixa as outras semi-retas em um mesmo semi-espaço. A figura formada por esses ângulos é o ângulo poliédrico.

Poliedros

      Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos, pertencentes a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum. Veja alguns exemplos:

      Os polígonos são as faces do poliedro; os lados e os vértices dos polígonos são as arestas e os vértices do poliedro.

   

Poliedros convexos e côncavos

      Observando os poliedros acima, podemos notar que, considerando qualquer uma de suas faces, os poliedros encontram-se inteiramente no mesmo semi-espaço que essa face determina. Assim, esses poliedros são denominados convexos.

        Isso não acontece no último poliedro, pois, em relação a duas de suas faces, ele não está contido apenas em um semi-espaço. Portanto, ele é denominado côncavo.
   

Classificação

      Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo com o número de faces, como por exemplo:

·         tetraedro: quatro faces

·         pentaedro: cinco faces

·         hexaedro: seis faces

·         heptaedro: sete faces

·         octaedro: oito faces

·         icosaedro: vinte faces

Poliedros regulares

      Um poliedro convexo é chamado de regular se suas faces são polígonos regulares, cada um com o mesmo número de lados e, para todo vértice, converge um mesmo número de arestas.

       Existem cinco poliedros regulares:

Poliedro	Planificação	Elementos
Tetraedro		4 faces triangulares 4 vértices 6 arestas
Hexaedro		6 faces quadrangulares 8 vértices 12 arestas
Octaedro		8 faces triangulares 6 vértices 12 arestas
Dodecaedro		12 faces pentagonais 20 vértices 30 arestas
Icosaedro		20 faces triangulares 12 vértices 30 arestas

O  resultado  das  projeções  ortogonais são as vistas ortogonais.

                                                                                                                                     

Elementos do prisma

    

 Dados o prisma a seguir, consideramos os seguintes elementos:

·         bases:as regiões poligonais R e S

·         altura:a distância h entre os planos 

·         arestas das bases:os lados  ( dos polígonos)

·         arestas laterais:os segmentos 

·         faces laterais: os paralelogramos AA'BB', BB'C'C, CC'D'D, DD'E'E, EE'A'A

Classificação

      Um prisma pode ser:

·         reto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases;

·         oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases.

Veja:

prisma reto	prisma oblíquo
Chamamos de prisma regular todo  prisma reto cujas bases são polígonos regulares:
prisma regular triangular	prisma regular hexagonal

Observação: As faces de um prisma regular são retângulos congruentes.

Secção

      Um plano que intercepte todas as arestas de um prisma determina nele uma região chamada secção do prisma.

        Secção transversal é uma região determinada pela intersecção do prisma com um plano paralelo aos planos das bases ( figura 1). Todas as secções transversais são congruentes ( figura 2).

Áreas

      Num prisma, distinguimos dois tipos de superfície:as faces e as bases. Assim, temos de considerar as seguintes áreas:

a) área de uma face (A_F ):área de um dos paralelogramos que constituem as faces;

b) área lateral ( A_L ):soma das áreas dos paralelogramos que formam as faces do prisma.

      No prisma regular, temos:

A_L = n . A_F (n = número de lados do polígono da base)

c) área da base (A_B): área de um dos polígonos das bases;

d) área total ( A_T): soma da área lateral com a área das bases

A_T = A_L + 2A_B

      Vejamos um exemplo.

      Dado um prisma hexagonal regular de aresta da base a e aresta lateral h, temos:

     

Paralelepípedo

      Todo prisma cujas bases são paralelogramos recebe o nome de paralelepípedo.Assim, podemos ter:

a) paralelepípedo oblíquo

b) paralelepípedo reto

         Se o paralelepípedo  reto tem bases retangulares, ele é chamado de paralelepípedo reto-retângulo,ortoedro ou paralelepípedo retângulo.

PROJEÇÃO ORTOGONAL DE UM PONTO

A projeção ortogonal de um ponto sobre um plano, é o pé da perpendicular baixada do ponto ao plano. "a" é a projeção e "A" sobre o plano "M" e "Aa" é a projetante (perpendicular)

CLASSIFICAÇÃO DAS PROJEÇÕES

Projeção Cônica

Projeção Cilíndrica ou Paralela - Ortogonal		Projeção Cilíndrica ou Paralela - Oblíqua

ESTUDO DO PONTO

Plano Horizontal (H) e Plano Vertical (V) são perpendiculares entre si. Linha de Terra (XY).

Os planos são infinitos e perpendiculares, formando quatro regiões (diedros).

Plano Horizontal Anterior (HA) Plano Horizontal Posterior (HP) Plano Vertical Superior (VS) Plano Vertical Inferior (VI) O plano vertical é rebatido (sentido anti-horário) sobre o plano horizontal.

Épura - é a representação de uma figura do espaço pelas suas proje- ções (rebatimento do plano vertical sobre o plano horizontal). Convenções - sendo os planos opacos, só as figuras situadas no 1º diedro são visíveis pelo observador ( o observador é sempre conside- rado como estando no primeiro diedro). _________ linhas visíveis (contínua) .................... linhas invisíveis (pontilhada) - - - - - - - - - linhas de projeção (tracejada) _._._._._._ linhas auxiliares (traço e ponto)

Cota - distância do ponto ao Plano Horizontal (Aa). Afastamento - distância do ponto ao Plano Vertical (Aa`).

POSIÇÕES DO PONTO

Ponto no 1º diedro
Ponto no 2º diedro
Ponto no 3º diedro
Ponto no 4º diedro
Ponto no Plano Vertical Superior
Ponto no Plano Vertical Inferior
Ponto no Plano Horizontal Superior
Ponto no Plano Horizontal Inferior
Ponto na Linha de Terra

PLANO BISSETOR

É o plano que divide o diedro em duas partes iguais. 1º bissetor - corta o 1º e o 3º diedros. 2º bissetor - corta o 2º e o 4º diedros.

ESTUDO DA RETA

Reta Perpendicular ao Plano -  a projeção será um ponto.
Reta Paralela ao Plano - a projeção é igual à própria reta.
Reta Oblíqua ao Plano -  a projeção é menor que a reta.

DETERMINAÇÃO DA RETA

A posição da reta é determinada quando conhecidas as projeções desta nos planos.

POSIÇÕES DA RETA

Reta Oblíqua aos dois planos - Reta Qualquer
Reta Paralela ao PH e Oblíqua ao PV - Reta Horizontal
Reta Paralela ao PV e Oblíqua ao PH - Reta Frontal
Reta Paralela aos dois planos - Reta Fronto-Horizontal
Reta Perpendicular ao PH - Reta Vertical
Reta Perpendicular ao PV - Reta Topo
Reta Perpendicular à Linha de Terra - Reta de Perfil

CONCLUSÃO

Depois de algumas investigações sobre Representação Técnica da Forma ou Projecções Ortogonal concluímos que neste contexto projecção ortogonal tem por fim representar num plano, as figuras do espaço, de maneira tal que, nesse plano, se possam resolver todos os problemas relativos a essas figuras. Ela foi criada no fim do século XVIII, pelo matemático francês Gaspar Monge.